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2017初二数学上学期期末试卷

时间:2017-10-13 初二 我要投稿

  距离2017初二数学上学期期末考试越来越近了,同学们都认真地做好试卷题了吗?以下是小编为你整理的2017初二数学上学期期末试卷,希望对大家有帮助!

  2017初二数学上学期期末试题

  一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个正确选项,请把正确选项的字母代号填在题后的括号内).

  1.下列四张扑克牌图案,属于中心对称的是(  )

  A. B. C. D.

  2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根,则实数m的取值是(  )

  A.m<1 B.m>﹣1 C.m>1 D.m<﹣1

  3.已知抛物线的解析式为y=(x﹣2)2+1,则这条抛物线的顶点坐标是(  )

  A.(﹣2,1) B.(2,1) C.(2,﹣1) D.(1,2)

  4.如图,在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧 沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.如果∠BAC=20°,则∠BDC=(  )

  A.80° B.70° C.60° D.50°

  5.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0,此方程可变形为(  )

  A.(x+2)2=9 B.(x﹣2)2=9 C.(x+2)2=1 D.(x﹣2)2=1

  6.如图,已知在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,AD=5,DC=4 则DA′的大小为(  )

  A.1 B. C. D.2

  7.如图,圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,且DE与圆O相切于E点.若圆O的半径为5,且AB=11,则DE的长度为何?(  )

  A.5 B.6 C. D.

  8.下列事件中是必然发生的事件是(  )

  A.打开电视机,正播放新闻

  B.通过长期努力学习,你会成为数学家

  C.从一副扑克牌中任意抽取一张牌,花色是红桃

  D.某校在同一年出生的有367名学生,则至少有两人的生日是同一天

  9.如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板,那么镖落在阴影部分的概率为(  )

  A. B. C. D.

  10.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是(  )

  A. B. C. D.

  二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.请把答案填在题中的横线上.)

  11.关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0,则m=  .

  12.设抛物线y=x2+8x﹣k的顶点在x轴上,则k=  .

  13.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作⊙O的切线,切点为C,若∠A=25°,则∠D=  度.

  14.将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后,得到△AB′C′,则图中阴影部分的面积是  cm2.

  15.不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是  .

  16.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为  .

  三、解答题:本大题共10个小题,满分102分,解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明.

  17.解方程:(x﹣3)2+4x(x﹣3)=0.

  18.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD顶点都在格点上,其中,点A的坐标为(1,1).

  (1)将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形;

  (2)若点B到达点B1,点C到达点C1,点D到达点D1,写出点B1、C1、D1的坐标.

  19.如图,点A,B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D.求证:AC=CD.

  20.甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是:3,4,5,6的4张牌做抽数学游戏.游戏规则是:将这4张牌的正面全部朝下,洗匀,从中随机抽取一张,抽得的数作为十位上的数字,然后,将所抽的牌放回,正面全部朝下、洗匀,再从中随机抽取一张,抽得的数作为个位上的数字,这样就得到一个两位数.若这个两位数小于45,则甲获胜,否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗?请运用概率知识说明理由.

  21.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等?并说明理由.

  22.如图是函数y= 与函数y= 在第一象限内的图象,点P是y= 的图象上一动点,PA⊥x轴于点A,交y= 的图象于点C,PB⊥y轴于点B,交y= 的图象于点D.

  (1)求证:D是BP的中点;

  (2)求四边形ODPC的面积.

  23.如图,已知二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点.

  (1)求这个二次函数的解析式;

  (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积.

  24.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.

  (1)求证:DE是半圆⊙O的切线.

  (2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.

  25.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图ABCD所示).由于地形限制,三级污水处理池的长、宽都不能超过16米.如果池的外围墙建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米300元,池底建造单价为每平方米80元.(池墙的厚度忽略不计)当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x.

  26.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A(﹣4,0),C(2,0)两点.

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;

  (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,点B是抛物线与y轴交点.判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.

  2017初二数学上学期期末试卷答案与解析

  一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个正确选项,请把正确选项的字母代号填在题后的括号内).

  1.下列四张扑克牌图案,属于中心对称的是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】中心对称.

  【分析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解.

  【解答】解:A、是中心对称图形,符合题意;

  B、不是中心对称图形,不符合题意;

  C、不是中心对称图形,不符合题意;

  D、不是中心对称图形,不符合题意.

  故答案为:A.

  2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根,则实数m的取值是(  )

  A.m<1 B.m>﹣1 C.m>1 D.m<﹣1

  【考点】根的判别式.

  【分析】方程没有实数根,则△<0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围.

  【解答】解:由题意知,△=4﹣4m<0,

  ∴m>1

  故选:C.

  3.已知抛物线的解析式为y=(x﹣2)2+1,则这条抛物线的顶点坐标是(  )

  A.(﹣2,1) B.(2,1) C.(2,﹣1) D.(1,2)

  【考点】二次函数的性质.

  【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标.

  【解答】解:因为y=(x﹣2)2+1为抛物线的顶点式,

  根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,1).

  故选B.

  4.如图,在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧 沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.如果∠BAC=20°,则∠BDC=(  )

  A.80° B.70° C.60° D.50°

  【考点】圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;翻折变换(折叠问题).

  【分析】连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互余求出∠B,再根据翻折的性质得到 所对的圆周角,然后根据∠ACD等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角可得出∠DAC的度数,由三角形外角的性质即可得出结论.

  【解答】解:如图,连接BC,

  ∵AB是直径,

  ∴∠ACB=90°,

  ∵∠BAC=20°,

  ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°.

  根据翻折的性质, 所对的圆周角为∠B, 所对的圆周角为∠ADC,

  ∴∠ADC+∠B=180°,

  ∴∠B=∠CDB=70°,

  故选B.

  5.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0,此方程可变形为(  )

  A.(x+2)2=9 B.(x﹣2)2=9 C.(x+2)2=1 D.(x﹣2)2=1

  【考点】解一元二次方程-配方法.

  【分析】移项后配方,再根据完全平方公式求出即可.

  【解答】解:x2+4x﹣5=0,

  x2+4x=5,

  x2+4x+22=5+22,

  (x+2)2=9,

  故选:A.

  6.如图,已知在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,AD=5,DC=4 则DA′的大小为(  )

  A.1 B. C. D.2

  【考点】旋转的性质;平行四边形的性质.

  【分析】过A′作A′F⊥DA于点F,由旋转的性质可得求得A′B,在Rt△ABE中可求得BE,则可求得A′E,则可求得DF和A′F,在Rt△A′FD中由勾股定理可求得A′D.

  【解答】解:

  ∵四边形ABCD为平行四边形,

  ∴AB=CD=4,∠ABC=∠ADC=60°,

  ∴BE= AB=2,AE=A′F= AB=2 ,

  ∵取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,

  ∴A′B在线段BC上,且A′B=AB=5,

  ∴A′E=A′B﹣BE=5﹣2=3,

  ∴AF=A′E=3,

  ∴DF=DA﹣AF=5﹣3=2,

  在Rt△A′FD中,由勾股定理可得A′D= = = ,

  故选C.

  7.如图,圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,且DE与圆O相切于E点.若圆O的半径为5,且AB=11,则DE的长度为何?(  )

  A.5 B.6 C. D.

  【考点】切线的性质;正方形的性质.

  【分析】求出正方形ANOM,求出AM长和AD长,根据DE=DM求出即可.

  【解答】解:

  连接OM、ON,

  ∵四边形ABCD是正方形,

  ∴AD=AB=11,∠A=90°,

  ∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,

  ∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A,

  ∵OM=ON,

  ∴四边形ANOM是正方形,

  ∴AM=OM=5,

  ∵AD和DE与圆O相切,圆O的半径为5,

  ∴AM=5,DM=DE,

  ∴DE=11﹣5=6,

  故选B.

  8.下列事件中是必然发生的事件是(  )

  A.打开电视机,正播放新闻

  B.通过长期努力学习,你会成为数学家

  C.从一副扑克牌中任意抽取一张牌,花色是红桃

  D.某校在同一年出生的有367名学生,则至少有两人的生日是同一天

  【考点】随机事件.

  【分析】必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件.

  【解答】解:A、B、C选项可能发生,也可能不发生,是随机事件.故不符合题意;

  D、是必然事件.

  故选D.

  9.如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板,那么镖落在阴影部分的概率为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】几何概率.

  【分析】根据几何概率的求法:镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.

  【解答】解:观察这个图可知:阴影部分占四个小正方形,占总数36个的 ,故其概率是 .

  故选A.

  10.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.

  【分析】根据题意,ab>0,即a、b同号,分a>0与a<0两种情况讨论,分析选项可得答案.

  【解答】解:根据题意,ab>0,即a、b同号,

  当a>0时,b>0,y=ax2与开口向上,过原点,y=ax+b过一、二、三象限;

  此时,没有选项符合,

  当a<0时,b<0,y=ax2与开口向下,过原点,y=ax+b过二、三、四象限;

  此时,D选项符合,

  故选D.

  二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.请把答案填在题中的横线上.)

  11.关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0,则m= ﹣1 .

  【考点】一元二次方程的解.

  【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=0代入原方程,列出关于m的方程,通过解关于m的方程即可求得m的值.

  【解答】解:∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0,

  ∴x=0满足关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0,且m﹣1≠0,

  ∴m2﹣1=0,即(m﹣1)(m+1)=0且m﹣1≠0,

  ∴m+1=0,

  解得,m=﹣1;

  故答案是:﹣1.

  12.设抛物线y=x2+8x﹣k的顶点在x轴上,则k= ﹣16 .

  【考点】二次函数的性质.

  【分析】顶点在x轴上,所以顶点的纵坐标是0.

  【解答】解:根据题意得 =0,

  解得k=﹣16.

  故答案为:﹣16.

  13.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作⊙O的切线,切点为C,若∠A=25°,则∠D= 40 度.

  【考点】切线的性质.

  【分析】连接OC,先根据圆周角定理得∠DOC=2∠A=40°,再根据切线的性质定理得∠OCD=90°,则此题易解.

  【解答】解:连接OC,

  ∵∠A=25°,

  ∴∠DOC=2∠A=50°,

  又∠OCD=90°,

  ∴∠D=40°.

  14.将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后,得到△AB′C′,则图中阴影部分的面积是   cm2.

  【考点】解直角三角形;旋转的性质.

  【分析】阴影部分为直角三角形,且∠C′AB=30°,AC′=5,解此三角形求出短直角边后计算面积.

  【解答】解:∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′,

  ∵∠CAC′=15°,

  ∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°,AC′=AC=5,

  ∴阴影部分的面积= ×5×tan30°×5= .

  15.不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是   .

  【考点】概率公式.

  【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.

  【解答】解:∵共4+3+2=9个球,有2个红球,

  ∴从袋子中随机摸出一个球,它是红球的概率为 ,

  故答案为: .

  16.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为 24 .

  【考点】规律型:图形的变化类.

  【分析】由图形可知:第1个图形有3+3×1=6个圆圈,第2个图形有3+3×2=9个圆圈,第3个图形有3+3×3=12个圆圈,…由此得出第n个图形有3+3n个圆圈,进一步代入求得答案即可.

  【解答】解:∵第1个图形有3+3×1=6个圆圈,

  第2个图形有3+3×2=9个圆圈,

  第3个图形有3+3×3=12个圆圈,

  …

  ∴第n个图形有3+3n个圆圈.

  则第⑦个图形中小圆圈的个数为3+3×7=24,

  故选:24.

  三、解答题:本大题共10个小题,满分102分,解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明.

  17.解方程:(x﹣3)2+4x(x﹣3)=0.

  【考点】解一元二次方程-因式分解法.

  【分析】方程的左边提取公因式x﹣3,即可分解因式,因而方程利用因式分解法求解.

  【解答】解:原式可化为:(x﹣3)(x﹣3+4x)=0

  ∴x﹣3=0或5x﹣3=0

  解得 .

  18.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD顶点都在格点上,其中,点A的坐标为(1,1).

  (1)将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形;

  (2)若点B到达点B1,点C到达点C1,点D到达点D1,写出点B1、C1、D1的坐标.

  【考点】作图-旋转变换.

  【分析】(1)分别画出B、C、D三点绕点A顺时针方向旋转90°后的对应点B1、C1、D1即可.

  (2)根据图象写出坐标即可.

  【解答】解:(1)正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°,旋转后的图形如图所示.

  (2)B1(2,﹣1),C1(4,0),D1(3,2).

  19.如图,点A,B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D.求证:AC=CD.

  【考点】切线的性质;垂径定理.

  【分析】AC为圆的切线,利用切线的性质得到∠OAC为直角,再由OC与OB垂直,得到∠BOC为直角,由OA=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等,利用等角对等边即可得证.

  【解答】∵直线AC与⊙O相切,

  ∴OA⊥AC,

  ∴∠OAC=90°,即∠OAB+∠CAB=90°,

  ∵OC⊥OB,

  ∴∠BOC=90°,

  ∴∠B+∠ODB=90°,

  而∠ODB=∠ADC,

  ∴∠ADC+∠B=90°,

  ∴OA=OB,

  ∴∠OAB=∠B,

  ∴∠ADC=∠CAB,

  ∴AC=CD.

  20.甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是:3,4,5,6的4张牌做抽数学游戏.游戏规则是:将这4张牌的正面全部朝下,洗匀,从中随机抽取一张,抽得的数作为十位上的数字,然后,将所抽的牌放回,正面全部朝下、洗匀,再从中随机抽取一张,抽得的数作为个位上的数字,这样就得到一个两位数.若这个两位数小于45,则甲获胜,否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗?请运用概率知识说明理由.

  【考点】游戏公平性.

  【分析】游戏是否公平,关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等,即判断双方取胜的概率是否相等,或转化为在总情况明确的情况下,判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.

  【解答】解:这个游戏不公平,游戏所有可能出现的结果如下表:

  第二次第一次 3 4 5 6

  3 33 34 35 36

  4 43 44 45 46

  5 53 54 55 56

  6 63 64 65 66

  表中共有16种等可能结果,小于45的两位数共有6种.

  ∴P(甲获胜)= ,P(乙获胜)= .

  ∵ ,

  ∴这个游戏不公平.

  21.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等?并说明理由.

  【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

  【分析】观察DG的位置,找包含DG的三角形,要使两条线段相等,只要找到与之全等的三角形,即可找到与之相等的线段.

  【解答】解:连接BE,则BE=DG.

  理由如下:

  ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,

  ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,

  ∴∠BAD﹣∠BAG=∠EAG﹣∠BAG,即∠DAG=∠BAE,

  则 ,

  ∴△BAE≌△DAG(SAS),

  ∴BE=DG.

  22.如图是函数y= 与函数y= 在第一象限内的图象,点P是y= 的图象上一动点,PA⊥x轴于点A,交y= 的图象于点C,PB⊥y轴于点B,交y= 的图象于点D.

  (1)求证:D是BP的中点;

  (2)求四边形ODPC的面积.

  【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

  【分析】(1)根据函数图象上的点满足函数解析式,可得P、D点坐标,根据线段中点的定义,可得答案;

  (2)根据图象割补法,可得面积的和差,可得答案.

  【解答】(1)证明:∵点P在函数y= 上,

  ∴设P点坐标为( ,m).

  ∵点D在函数y= 上,BP∥x轴,

  ∴设点D坐标为( ,m),

  由题意,得

  BD= ,BP= =2BD,

  ∴D是BP的中点.

  (2)解:S四边形OAPB= •m=6,

  设C点坐标为(x, ),D点坐标为( ,y),

  S△OBD= •y• = ,

  S△OAC= •x• = ,

  S四边形OCPD=S四边形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC=6﹣ ﹣ =3.

  23.如图,已知二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点.

  (1)求这个二次函数的解析式;

  (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积.

  【考点】二次函数综合题.

  【分析】(1)二次函数图象经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点,两点代入y=﹣ +bx+c,算出b和c,即可得解析式.(2)先求出对称轴方程,写出C点的坐标,计算出AC,然后由面积公式计算值.

  【解答】解:(1)把A(2,0)、B(0,﹣6)代入y=﹣ +bx+c,

  得:

  解得 ,

  ∴这个二次函数的解析式为y=﹣ +4x﹣6.

  (2)∵该抛物线对称轴为直线x=﹣ =4,

  ∴点C的坐标为(4,0),

  ∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2,

  ∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6.

  24.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.

  (1)求证:DE是半圆⊙O的切线.

  (2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.

  【考点】切线的判定.

  【分析】(1)连接OD,OE,由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形,再由E为斜边BC的中点,得到DE=BE=DC,再由OB=OD,OE为公共边,利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等,由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直,即可得证;

  (2)在直角三角形ABC中,由∠BAC=30°,得到BC为AC的一半,根据BC=2DE求出BC的长,确定出AC的长,再由∠C=60°,DE=EC得到三角形EDC为等边三角形,可得出DC的长,由AC﹣CD即可求出AD的长.

  【解答】(1)证明:连接OD,OE,BD,

  ∵AB为圆O的直径,

  ∴∠ADB=∠BDC=90°,

  在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,

  ∴DE=BE,

  在△OBE和△ODE中,

  ,

  ∴△OBE≌△ODE(SSS),

  ∴∠ODE=∠ABC=90°,

  则DE为圆O的切线;

  (2)在Rt△ABC中,∠BAC=30°,

  ∴BC= AC,

  ∵BC=2DE=4,

  ∴AC=8,

  又∵∠C=60°,DE=CE,

  ∴△DEC为等边三角形,即DC=DE=2,

  则AD=AC﹣DC=6.

  25.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图ABCD所示).由于地形限制,三级污水处理池的长、宽都不能超过16米.如果池的外围墙建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米300元,池底建造单价为每平方米80元.(池墙的厚度忽略不计)当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x.

  【考点】一元二次方程的应用.

  【分析】本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200元,由此可列方程求解.

  【解答】解:根据题意,得

  2(x+ ×400)+2× ×300+200×80=47200,

  整理,得

  x2﹣39x+350=0.

  解得 x1=25,x2=14.

  ∵x=25>16,

  ∴x=25不合题意,舍去.

  ∵x=14<16, = <16,

  ∴x=14符合题意.

  所以,池长为14米.

  26.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A(﹣4,0),C(2,0)两点.

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;

  (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,点B是抛物线与y轴交点.判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.

  【考点】二次函数综合题.

  【分析】(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解即可;

  (2)根据图形的割补法,可得二次函数,根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值,然后即可得解;

  (3)利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标,然后求出PQ的长度,再根据平行四边形的对边相等列出算式,然后解关于x的一元二次方程即可得解.

  【解答】解:(1)将A(﹣4,0),C(2,0)两点代入函数解析式,得

  解得

  所以此函数解析式为:y= x2+x﹣4;

  (2)∵M点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上,

  ∴M点的坐标为:(m, m2+m﹣4),

  ∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB

  = ×4×( m2+m﹣4)+ ×4×(﹣m)﹣ ×4×4

  =﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8

  =﹣m2﹣4m

  =﹣(m+2)2+4,

  ∵﹣4

  当m=﹣2时,S有最大值为:S=﹣4+8=4.

  答:m=﹣2时S有最大值S=4.

  (3)∵点Q是直线y=﹣x上的动点,

  ∴设点Q的坐标为(a,﹣a),

  ∵点P在抛物线上,且PQ∥y轴,

  ∴点P的坐标为(a, a2+a﹣4),

  ∴PQ=﹣a﹣( a2+a﹣4)=﹣ a2﹣2a+4,

  又∵OB=0﹣(﹣4)=4,

  以点P,Q,B,O为顶点的四边形是平行四边形,

  ∴|PQ|=OB,

  即|﹣ a2﹣2a+4|=4,

  ①﹣ a2﹣2a+4=4时,整理得,a2+4a=0,

  解得a=0(舍去)或a=﹣4,

  ﹣a=4,

  所以点Q坐标为(﹣4,4),

  ②﹣ a2﹣2a+4=﹣4时,整理得,a2+4a﹣16=0,

  解得a=﹣2±2 ,

  所以点Q的坐标为(﹣2+2 ,2﹣2 )或(﹣2﹣2 ,2+2 ).

  综上所述,Q坐标为(﹣4,4)或(﹣2+2 ,2﹣2 )或(﹣2﹣2 ,2+2 )时,使点P,Q,B,O为顶点的四边形是平行四边形.
 

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