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常用的三角函数值知识点

时间:2017-10-11 数学 我要投稿

  求三角函数值是三角函数一章中的重要内容,也是历年高考必考的重要知识点之一,本文是小编整理常用的三角函数值的资料,仅供参考。

  常用的三角函数值

  三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。

  它有六种基本函数:

  函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

  符号 sin cos tan cot sec csc

  正弦函数 sin(A)=a/c

  余弦函数 cos(A)=b/c

  正切函数 tan(A)=a/b

  余切函数 cot(A)=b/a

  其中a为对边,b为临边,c为斜边

  附:部分特殊三角函数值

  sin0=0

  cos0=1

  tan0=0

  sin15=(根号6-根号2)/4

  cos15=(根号6+根号2)/4

  tan15=sin15/cos15=2-根号3

  sin30=1/2

  cos30=根号3/2

  tan30=根号3/3

  sin45=根号2/2

  cos45=sin45=根号2/2

  tan45=1

  sin60=根号3/2

  cos60=1/2

  tan60=根号3

  sin75=cos15

  cos75=sin15

  tan75=sin75/cos75 =2+根号3

  sin90=cos0

  cos90=sin0

  tan90无意义

  sin105=cos15

  cos105=-sin15

  tan105=-cot15

  sin120=cos30

  cos120=-sin30

  tan120=-tan60

  sin135=sin45

  cos135=-cos45

  tan135=-tan45

  sin150=sin30

  cos150=-cos30

  tan150=-tan30

  sin165=sin15

  cos165=-cos15

  tan165=-tan15

  sin180=sin0

  cos180=-cos0

  tan180=tan0

  sin195=-sin15

  cos195=-cos15

  tan195=tan15

  sin360=sin0

  cos360=cos0

  tan360=tan0

  | 360°| 270°| 0° | 15° | 30° | 37° | 45°

  sin | 0 | -1 | 0 |(√6-√2)/4 | 1/2 | 3/5 |√2/2

  cos | 1 | 0 | 1 |(√6+√2)/4 |√3/2 | 4/5 |√2/2

  tan | 0 | 无值 | 0 | 2-√3 |√3/3 | 3/4 | 1

  ______________________________________________________________________

  | 53° | 60° | 75° | 90° | 120° | 135°| 180°

  sin | 4/5 |√3/2 |(√6+√2)/4 | 1 | √3/2 | √2/2 | 0

  cos | 3/5 | 1/2 | (√6-√2)/4| 0 | -1/2 |-√2/2 |-1

  tan | 4/3 | √3 | 2+√3 | 无值 | -√3 | -1 |0

  ______________________________________________________________________

  倒数关系

  tanα ·cotα=1

  sinα ·cscα=1

  cosα ·secα=1

  商数关系

  tanα=sinα/cosα

  cotα=cosα/sinα

  平方关系

  sinα²+cosα²=1

  1+tanα²=secα²

  1+cotα²=cscα²

  以下关系,函数名不变,符号看象限

  sin(2kπ+α)=sinα

  cos(2kπ+α)=cosα

  tan(2kπ+α)=tanα

  cot(2kπ+α)=cotα

  sin(π+α)=-sinα

  cos(π+α)=-cosα

  tan(π+α)=tanα

  cot(π+α)=cotα

  sin(π-α)=sinα

  cos(π-α)=-cosα

  tan(π-α)=-tanα

  cot(π-α)=-cotα

  sin(2π-α)=-sinα

  cos(2π-α)=cosα

  tan(2π-α)=-tanα

  cot(2π-α)=-cotα

  以下关系,奇变偶不变,符号看象限

  sin(90°-α)=cosα

  cos(90°-α)=sinα

  tan(90°-α)=cotα

  cot(90°-α)=tanα

  sin(90°+α)=cosα

  cos(90°+α)=sinα

  tan(90°+α)=-cotα

  cot(90°+α)=-tanα

  sin(270°-α)=-cosα

  cos(270°-α)=-sinα

  tan(270°-α)=cotα

  cot(270°-α)=tanα

  sin(270°+α)=-cosα

  cos(270°+α)=sinα

  tan(270°+α)=-cotα

  cot(270°+α)=-tanα

  积化和差公式

  sinα ·cosβ=(1/2)*[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα ·sinβ=(1/2)*[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα ·cosβ=(1/2)*[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα ·sinβ=(1/2)*[cos(α+β)-cos(α-β)]

  和差化积公式

  sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2*[cos(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-22*[sin(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]

  三倍角公式

  sin3α=3sinα-4sinα³

  cos3α=4cosα³-3cosα

  两角和与差的三角函数公式

  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

  sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

  cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

  tan(α+β)==(tanα+tanβ )/(1-tanα ·tanβ)

  tan(α-β)=(tanα-tanβ )/(1+tanα ·tanβ)

  三角函数的特殊值

  sin0°=0 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 sin90°=1

  cos0°=1 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 cos90°=0

  tan0°=0 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3

  cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 cot90°=0

  三角函数公式大全

  同角三角函数的基本关系

  倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)

  平常针对不同条件的常用的两个公式

  sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1

  一个特殊公式

  (sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ) 证明:(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ)

  锐角三角函数公式

  正弦: sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边

  二倍角公式

  正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))

  三倍角公式

  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

  n倍角公式

  sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)。 其中R=2^(n-1) 证明:当sin(na)=0时,sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin【(n-1)π/n】 这说明sin(na)=0与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】=0是同解方程。 所以sin(na)与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】成正比。 而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ),所以 {sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1π/n】 与sina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn)。 然后考虑sin(2n a)的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn= 2^(n-1)

  半角公式

  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

  和差化积

  sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

  sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

  两角和公式

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

  积化和差

  sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

  双曲函数

  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容

  诱导公式

  sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限

  万能公式

  sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

  其它公式

  (1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)²+(cosB)²+(cosC)²=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)²+(sinB)²+(sinC)²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

  编辑本段内容规律

  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质:

  [1] 根据右图,有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,单位圆的等式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图象中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式

 

  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

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