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三角函数的诱导公式知识点

时间:2017-10-11 数学 我要投稿

   利用三角函数的诱导公式可以把任意角的三角函数化为锐角三角函数,利用诱导公式能进行任意角的三角函数的求值、化简、证明。本文是小编整理三角函数的诱导公式的资料,仅供参考。

  三角函数的诱导公式

  诱导公式的本质

  所谓三角函数诱导公式,就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

  常用的诱导公式

  公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

  sin(2kπ+α)=sinα k∈z

  cos(2kπ+α)=cosα k∈z

  tan(2kπ+α)=tanα k∈z

  cot(2kπ+α)=cotα k∈z

  公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π+α)=-sinα

  cos(π+α)=-cosα

  tan(π+α)=tanα

  cot(π+α)=cotα

  公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

  sin(-α)=-sinα

  cos(-α)=cosα

  tan(-α)=-tanα

  cot(-α)=-cotα

  公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π-α)=sinα

  cos(π-α)=-cosα

  tan(π-α)=-tanα

  cot(π-α)=-cotα

  公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(2π-α)=-sinα

  cos(2π-α)=cosα

  tan(2π-α)=-tanα

  cot(2π-α)=-cotα

  公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π/2+α)=cosα

  cos(π/2+α)=-sinα

  tan(π/2+α)=-cotα

  cot(π/2+α)=-tanα

  sin(π/2-α)=cosα

  cos(π/2-α)=sinα

  tan(π/2-α)=cotα

  cot(π/2-α)=tanα

  推算公式:3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(3π/2+α)=-cosα

  cos(3π/2+α)=sinα

  tan(3π/2+α)=-cotα

  cot(3π/2+α)=-tanα

  sin(3π/2-α)=-cosα

  cos(3π/2-α)=-sinα

  tan(3π/2-α)=cotα

  cot(3π/2-α)=tanα

  诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。

  “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

  符号判断口诀:

  “一全正;二正弦;三两切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。

  “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

  所有三角函数诱导公式

  常用的诱导公式有以下几组:

  公式一:

  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

  sin(2kπ+α)=sinα

  cos(2kπ+α)=cosα

  tan(2kπ+α)=tanα

  cot(2kπ+α)=cotα

  公式二:

  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π+α)=-sinα

  cos(π+α)=-cosα

  tan(π+α)=tanα

  cot(π+α)=cotα

  公式三:

  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

  sin(-α)=-sinα

  cos(-α)=cosα

  tan(-α)=-tanα

  cot(-α)=-cotα

  公式四:

  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π-α)=sinα

  cos(π-α)=-cosα

  tan(π-α)=-tanα

  cot(π-α)=-cotα

  公式五:

  利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(2π-α)=-sinα

  cos(2π-α)=cosα

  tan(2π-α)=-tanα

  cot(2π-α)=-cotα

  公式六:

  π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π/2+α)=cosα

  cos(π/2+α)=-sinα

  tan(π/2+α)=-cotα

  cot(π/2+α)=-tanα

  sin(π/2-α)=cosα

  cos(π/2-α)=sinα

  tan(π/2-α)=cotα

  cot(π/2-α)=tanα

  诱导公式记忆口诀

  ※规律总结※

  上面这些诱导公式可以概括为:

  对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值,

  ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;

  ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

  (奇变偶不变)

  然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

  (符号看象限)

  例如:

  sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。

  当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。

  所以sin(2π-α)=-sinα

  上述的记忆口诀是:

  奇变偶不变,符号看象限。

  公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α

  所在象限的原三角函数值的符号可记忆

  水平诱导名不变;符号看象限。

  各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”.

  这十二字口诀的意思就是说:

  第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;

  第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

  第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”;

  第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

  上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

  其他三角函数知识:

  同角三角函数基本关系

  ⒈同角三角函数的基本关系式

  倒数关系:

  tanα ·cotα=1

  sinα ·cscα=1

  cosα ·secα=1

  商的关系:

  sinα/cosα=tanα=secα/cscα

  cosα/sinα=cotα=cscα/secα

  平方关系:

  sin^2(α)+cos^2(α)=1

  1+tan^2(α)=sec^2(α)

  1+cot^2(α)=csc^2(α)

  同角三角函数关系六角形记忆法

  六角形记忆法:(参看图片或参考资料链接)

  构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

  (1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数;

  (2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

  (主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此,可得商数关系式。

  (3)平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

  两角和差公式

  ⒉两角和与差的三角函数公式

  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

  sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

 

  cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

  tanα+tanβ

  tan(α+β)=——————

  1-tanα ·tanβ

  tanα-tanβ

  tan(α-β)=——————

  1+tanα ·tanβ

  倍角公式

  ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

  sin2α=2sinαcosα

  cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  2tanα

  tan2α=—————

  1-tan^2(α)

  半角公式

  ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

  1-cosα

  sin^2(α/2)=—————

  2

  1+cosα

  cos^2(α/2)=—————

  2

  1-cosα

  tan^2(α/2)=—————

  1+cosα

  万能公式

  ⒌万能公式

  2tan(α/2)

  sinα=——————

  1+tan^2(α/2)

  1-tan^2(α/2)

  cosα=——————

  1+tan^2(α/2)

  2tan(α/2)

  tanα=——————

  1-tan^2(α/2)

  万能公式推导

  附推导:

  sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,

  (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

  再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=tan2α/(1+tan^2(α))

  然后用α/2代替α即可。

  同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

  三倍角公式

  ⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  3tanα-tan^3(α)

  tan3α=——————

  1-3tan^2(α)

  三倍角公式推导

  附推导:

  tan3α=sin3α/cos3α

  =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

  =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

  上下同除以cos^3(α),得:

  tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

  sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

  =2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

  =2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^2(α)

  =3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

  =(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

  =2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

  =4cos^3(α)-3cosα

  即

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  三倍角公式联想记忆

  记忆方法:谐音、联想

  正弦三倍角:3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”))

  余弦三倍角:4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)

  ☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

  和差化积公式

  ⒎三角函数的和差化积公式

  α+β α-β

  sinα+sinβ=2sin—----·cos—---

  2 2

  α+β α-β

  sinα-sinβ=2cos—----·sin—----

  2 2

  α+β α-β

  cosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----

  2 2

  α+β α-β

  cosα-cosβ=-2sin—-----·sin—-----

  2 2

  积化和差公式

  ⒏三角函数的积化和差公式

  sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα ·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα ·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

  和差化积公式推导

  附推导:

  首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

  我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

  所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

  所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

  所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

  sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

  我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

  把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

  sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

  cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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